2021年运筹学考研题库（含考研真题）
第一章 线性规划及单纯形法
一、判断题
1线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点。（ ）[北京交通大学2010研]
【答案】×
【解析】基解不一定是可行解，基可行解一一对应着可行域的顶点。
2若线性规划问题的可行解为最优解，则该可行解必定是基可行解。（ ）[南京航空航天大学2011研]
【答案】√
【解析】基解且可行才有可能是最优解
3如果线性规划问题无最优解，则它也一定没有基可行解。（ ）[东北财经大学2008研]
【答案】×
【解析】当问题的可行域是无界的，因而有无界的可行解。此时该问题无有限最优解，但是存在基可行解。
4若x（1）、x（2）分别是某一线性规划问题的最优解，则x＝λ1x（1）＋λ2x（2）也是该线性规划问题的最优解，其中λ1、λ2为正的实数。（ ）[北京交通大学2010研]
【答案】×
【解析】必须规定λ1＋λ2＝1，且λ1，λ2≥0。当某一线性规划问题存在两个最优解时，则它一定存在无数个最优解，最优解为x＝λ1x（1）＋λ2x（2）且λ1＋λ2＝1，λ1，λ2≥0。
二、选择题
1若线性规划问题没有可行解，可行解集是空集，则此问题（ ）。[暨南大学2019研]
a．没有无穷多最优解
b．没有最优解
c．有无界解
d．有最优解
【答案】b
【解析】有最优解的前提是有可行解，该题无可行解，则也无最优解。
2单纯形法中，关于松弛变量和人工变量，以下说法正确的是（ ）。[中山大学2008研]
a．在最后的解中，松弛变量必须为0，人工变量不必为0
b．在最后的解中，松弛变量不必为0，人工变量必须为0
c．在最后的解中，松弛变量和人工变量都必须为0
d．在最后的解中，松弛变量和人工变量都不必为0
【答案】b
【解析】松弛变量是在约束不等式号的左端加入的，在最后的解中，其值可以不必为0；人工变量是在原约束条件为等式的情况下加入的，只有基变量中不再含有非零的人工变量时，原问题才有解，所有最后的解中人工变量必须为0。如果人工变量不为0，则原问题无可行解。
3（多选）线性规划可行域为封闭的有界区域，最优解可能是（ ）。[中山大学2007研]
a．唯一的最优解
b．一个以上的最优解
c．目标函数无界
d．没有可行解
【答案】ab
【解析】可行域非空，故有可行解；可行域封闭，故目标函数有界，有一个或多个最优解。
4（多选）线性规划的最优解有以下几种可能？（ ）[中山大学2008研]
a．唯一最优解
b．多个最优解
c．没有最优解，因为目标函数无
界
d．没有最优解，因为没有可行解
【答案】abcd
【解析】线性规划问题的每个基可行解对应可行域的一个顶点，若现行规划问题有最优解，必在某个顶点上得到，当该顶点唯一时，有唯一最优解；当目标函数在多个顶点上达到最大值时，则该问题有无限多个最优解；目标函数无界，称线性规划问题具有无界解，此时无最优解；使目标函数达到最大的可行解称为最优解，故没有可行解就没有最优解。
三、填空题
1对于线性规划问题：max z＝cx；ax≤b，x≥0，若b＝（p1，p2，…，pm）为a中m个线性无关的列向量，且为该lp的一个可行基，则对应于基b的基可行解为：______，该基可行解为最优解的条件是：______。[武汉大学2005研]
【答案】x＝（x1，x2，…，xm，0，…，0）t；对于一切j＝m＋1，…，n，有σj≤0
【解析】若b＝（p1，p2，…，pm）为a中m个线性无关的列向量，此时令非基变量xm＋1＝xm＋2＝…＝xn＝0，这时变量的个数等于线性方程组的个数，用
高斯消去法，可求得对应于基b的基可行解为x＝（x1，x2，…，xm，0，…，0）t 。由最优解的判别定理，若对于一切j＝m＋1，…，n，有σj≤0，则所求得的基可行解为最优解。
2当极大化线性规划模型达到最优时，某非基变量xj的检验数为σj，当价格系数为cj的变化量为?cj时，原线性规划问题最优解保持不变的条件是______。[武汉大学2005研]
【答案】σj＋?cj≤0
【解析】xj为非基变量，其价格系数变化?cj后，其检验数变为σj′＝σj＋?cj ，极大化线性规划模型最优解保持不变的条件是σj′＝σj＋?cj ≤0。
3若x为某极大化线性规划问题的一个基可行解，用非基变量表达其目标函数的形式为
则x为该lp最优解的条件是：______。[武汉大学2006研]
【答案】σj≤0
【解析】求极大化问题，则当所有非基变量的检验数均为非正时，即得最优解。线性规划最优时要求非基变量检验数小于等于0，所以σj≤0。
4两阶段法中，若第一阶段目标函数最优值不为0，则原问题______。[北京科技大学2011研]
【答案】无可行解
【解析】第一阶段目标函数值不是0，则说明最优解的基变量中含有非零的人工变量，表明原线性规划问题无可行解。