1、2010 年考研数学三真题与解析一.选择题1.若1)1(1limxoxeaxx则a= a0 b1 c2 d3 2.设21,yy是一阶线性非齐次微分方程)()(xqyxpy的两个特解，若常数,使21yy是该方程的解，21yy是该方程对应的齐次方程的解，则a21,21b21,21c31,32d32,323.设函数 f(x),g(x) 具有二阶导数， 且.0)(xg若axg)(0是 g(x)的极值， 则 f(g(x)在0 x取极大值的一个充分条件是a0)(afb0)(afc0)(afd0)(af4 设1010)(,)(,ln)(xexhxxgxxf则当 x 充分大时有ag(x)h(x)f(x) bh
2、(x)g(x)f(x) cf(x)g(x)h(x) dg(x)f(x)s c 若向量组ii 线性无关，则srd 若向量组ii 线性相关，则rs 6.设 a 为 4 阶实对称矩阵，且02aa，若 a 的秩为 3，则 a 相似于a0111b0111c0111d01117.设随机变量x 的分布函数1,110,210,0)(xexxxfx，则 p（ x=1)= a0 b21c121ed11e8.设)(1xf为 标 准 正 态 分 布 概 率 密 度 ，)(2xf为 -1,3 上 均 匀 分 布 的 概 率 密 度 ， 若)0,0(0),(0),()(21baxxbfxxafxf为概率密度，则a,b 满
3、足:a2a+3b=4 b3a+2b=4 ca+b=1 da+b=2 二.填空题9.设可导函数y=y(x),由方程xyxtdttxdte020sin2确定，则_0 xdxdy10.设位于曲线)()ln1(12xexxy下方， x 轴上方的无界区域为g，则 g 绕 x轴旋转一周所得空间区域的体积为_ 11.设 某 商 品 的 收 益 函 数r(p), 收 益 弹 性 为31p， 其 中p 为 价 格 ， 且r(1)=1, 则r(p)=_ 12.若曲线123bxaxxy有拐点 (-1,0),则 b=_ 13.设 a，b 为 3阶矩阵，且2, 2,31baba，则_1ba14.设_et,1t)0)(,
4、(n,122321则计量的简单随机样本。记统是来自总体niixnxxx三.解答题15.求极限xxxxln11)1(lim16.计 算二 重 积 分ddxdyyx3)(， 其中d由曲 线21yx与 直线围成及0202yxyx。17.求函数 u=xy+2yz 在约束条件10222zyx下的最大值和最小值。18. （1）比较1010),2, 1(ln)1ln(lnndtttdtttnn与的大小，说明理由。（2）记10), 2, 1()1ln(lnndtttunn,求极限.limnnu19.设f(x)在0,3上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且)3()2()()0(220ffdxxff（1）证明:存
5、在);0()(),2 ,0(ff使（2）证明:存在0)(),3 ,0(f使20 .的通解。求方程组、）求（个不同的解。存在已知线性方程组设baxabaxaba)2(.12.11,110101121.设0431410aaa， 正 交 矩阵q使 得aqqt为 对 角 矩 阵， 若q 的 第 一 列 为t)1 , 2, 1 (61，求 a、 q. 22.设二维随机变量(x,y) 的概率密度为yxaeyxfyxyx,),(2222求常数 a 及条件概率密度).(xyfxy23.箱中装有6 个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3 个。现从箱中随机地取出2个球，记x 为取出的红球个数，y 为取出的白
6、球个数。（1）求随机变量（x,y ）的概率分布；（2）求 cov（x,y ）. 2010年考研数学三之答案与解析答案: cabc adca 9.-1 10.4211 )1(313ppe12.3 13.3 14.22三解答题15.解:1ln11ln2lnln) 1(lim1lnln1limln1lnlimln) 1ln(lim, 0ln,ln11limln) 1ln(limlnlnexxxxxxxexexxxxxexexexxxxxxxxxxxxxxxxxx故而当16.解: 1514)(3)321(21)3(2)3()33(101210104242232332232yydddyyydyyydxx
7、yxdydxdyxyxdxdyyyxxyx原式17.解:55-550,55-,;55,).2,0 ,22(),2,0,22(),2,5
, 1(),2,5, 1(),2,5, 1(),2,5, 1(,01002202202)10(2),(minmax222222uuufeucbudafedcbazyxfzyfyzxfxyfzyxyzxyzyxfzyx，所以。两点处；在两点处在两处因为在最可能的最值点令设18. 0lim,0lnlim)1(111lnln.ln)1ln(ln0)1()2(.ln)1ln(ln,ln)1ln(ln,)1ln(,10)1(10102101010101010nnnnnnn
8、nnnnnnnudtttndttntdttdtttdtttdtttudtttdtttttttttt从而知由因此，当解:19. 0)(),3 ,0(),0)(,0)(0,30),()()0().0()(),0(2) 3()2(.2)3()2()(,3, 23 ,2)(2)3()2()2().0()(),0(2)()(2)(),(2)(2)0()2(20).0()2()(),20()()() 1(2121212020200ffffffffffffffxffffffdxxffdxxfffffffdxxfxdttfxfx使得（从而存在），使，（），（根据罗尔定理，存在且由于故由题设知使存在值定理，间，
9、根据连续函数的介上的最小值与最大值之在介于故由题设知即），使，（，存在根据拉格朗日中值定理则设证:20.解:为任意常数。其中的通解为所以时，当有解，（变换的增广矩阵施以初等行时，对当舍去。所以时，因为当。或于是的一个非零解，故是个不同的解，则的为设kkxbaxbaabaxbaababaxbaxbararaaxbax,10101321,021230000101012, 1)2(.22212300001010111111020111),1-,),()(11-1,0) 1()1(0-2,) 1(2212121 为所求矩阵。故则有令），（的一个单位特征向量为属于特征值），（的一个单位特征向量为属于特征
10、值的特征值为所以的特征多项式由于解得的一个特征向量，于是为），解:由题设，（qaqqqaaeaaaaaattt,452,21316103162213161101214;11-1315.4, 5 ,2),4)(5)(2(.2, 1,121121043141012112111t22. .,1111)(),()(),(.1,)(1,),()(22222222222222)(222)()(22yeeeexfyxfxyfxaadxeadxxfxeadyeaedyeadyeadyyxfxfyxyxyxxyxyxxxyxxxxyxxxyyxyxx时，当从而所以解:因23.解:（1）随机变量（x，y）的概率分
11、布为:x y 0 1 2 0 1/5 2/5 1/15 1 1/5 2/15 0 (2) .4543231152)(),(.152)(.3215121581520,1512,158 1,52031311320,311,320eyexxyeyxcovxyeeyypypypexxpxp所以又所以，因为。所以因为2011 年考研数学三试题及解析一、选择题 (1 8 小题，每小题4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上) (1) 已知当错误！嵌入对象无效。时，错误！嵌入对象无效。与错误！嵌入对象无效。是等价无穷小，则( ) (a)
12、错误！嵌入对象无效。. (b) 错误！嵌入对象无效。.(c) 错误！嵌入对象无效。. (d) 错误！嵌入对象无效。. (2) 已知函数错误！嵌入对象无效。在错误！嵌入对象无效。处可导，且错误！嵌入对象无效。，则错误！嵌入对象无效。=( ) (a) 错误！嵌入对象无效。2错误！嵌入对象无效。. (b) 错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。. (c) 错误！嵌入对象无效。. (d) 错误！嵌入对象无效。. (3) 设错误！嵌入对象无效。是数列，则下列命题正确的是( ) (a) 若错误！嵌入对象无效。收敛，则错误！嵌入对象无效。收敛 . (b) 若错误！嵌入对象无效。收敛，则错误！嵌入对象无效。
13、收敛 . (c) 若错误！嵌入对象无效。收敛，则错误！嵌入对象无效。收敛 . (d) 若错误！嵌入对象无效。收敛，则错误！嵌入对象无效。收敛 . (4) 设错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。，则错误！嵌入对象无效。的大小关系是( ) (a) 错误！嵌入对象无效。 (b) 错误！嵌入对象无效。(c) 错误！嵌入对象无效。 (d) 错误！嵌入对象无效。(5) 设错误！嵌入对象无效。为 3 阶矩阵，将错误！嵌入对象无效。的第 2 列加到第1列得矩阵错误！嵌入对象无效。，再交换错误！嵌入对象无效。的第 2 行与第 3 行得单位矩阵，记错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无
14、效。，则错误！嵌入对象无效。( ) (a) 错误！嵌入对象无效。 (b) 错误！嵌入对象无效。 (c) 错误！嵌入对象无效。 (d) 错误！嵌入对象无效。(6) 设错误！嵌入对象无效。为错误！嵌入对象无效。矩阵，错误！嵌入对象无效。是非齐次线性方程组错误！嵌入对象无效。的错误！嵌入对象无效。个线性无关的解，错误！嵌入对象无效。为任意常数，则错误！嵌入对象无效。的通解为 ( ) (a) 错误！嵌入对象无效。(b) 错误！嵌入对象无效。(c) 错误！嵌入对象无效。 (d) 错误！嵌入对象无效。(7) 设错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。为两个分布函数，其相应的概率密度错误！嵌入对象无效。，
15、错误！嵌入对象无效。是连续函数， 则必为概率密度的是( ) (a) 错误！嵌入对象无效。 (b) 错误！嵌入对象无效。(c) 错误！嵌入对象无效。(d) 错误！嵌入对象无效。(8) 设总体错误！嵌入对象无效。服从参数为错误！嵌入对象无效。的泊松分布，错误！嵌入对象无效。为来自总体错误！嵌入对象无效。的简单随机样本，则对应的统计量错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。( ) (a) 错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。 (b) 错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。(c) 错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。 (d) 错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。二、填空题 (9
16、14 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上) (9) 设错误！嵌入对象无效。，则错误！嵌入对象无效。 . (10) 设函数错误！嵌入对象无效。，则错误！嵌入对象无效。 . (11) 曲线错误！ 嵌入对象无效。在点错误！ 嵌入对象无效。处的切线方程为 . (12) 曲线错误！嵌入对象无效。，直线错误！嵌入对象无效。及错误！嵌入对象无效。轴所围成的平面图形绕错误！嵌入对象无效。轴旋转所成的旋转体的体积为 . (13) 设二次型错误！嵌入对象无效。的秩为1，错误！嵌入对象无效。的各行元素之和为 3，则错误！嵌入对象无效。在正交变换错误！嵌入对象无效。下的标准形为(14) 设
17、二维随机变量错误！嵌入对象无效。服从正态分布错误！嵌入对象无效。，则错误！嵌入对象无效。= 三、解答题 (15 23 小题，共94 分请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15) (本题满分10 分 ) 求极限错误！嵌入对象无效。(16) (本题满分10 分 ) 已知函数错误！嵌入对象无效。具有连续的二阶偏导数，错误！嵌入对象无效。是错误！嵌入对象无效。的极值，错误！嵌入对象无效。，求错误！嵌入对象无效。. (17) (本题满分10 分 ) 求错误！嵌入对象无效。. (18) (本题满分10 分 ) 证明错误！嵌入对象无效。恰有 2 实根 . (19) (本
18、题满分10 分 ) 设函数错误！嵌入对象无效。在错误！嵌入对象无效。有连续导数，错误！嵌入对象无效。，且错误！ 嵌入对象无效。, 错误！ 嵌入对象无效。，求错误！ 嵌入对象无效。的表达式 . (20) (本题满分11 分 ) 设向量组错误！嵌入对象无效。，不能由向量组错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。线性表示(i) 求错误！嵌入对象无效。的值；(ii) 将错误！嵌入对象无效。由错误！嵌入对象无效。线性表示(21) (本题满分11 分 ) 错误！嵌入对象无效。为三阶实对称矩阵，错误！嵌入对象无效。的秩为 2，即错误！嵌入对象无效。，且错误！嵌入对象无效。(i) 求错
19、误！嵌入对象无效。的特征值与特征向量；(ii) 求矩阵错误！嵌入对象无效。(22) (本题满分11 分 ) 设随机变量错误！嵌入对象无效。与错误！嵌入对象无效。的概率分布分别为错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。1 无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。且错误！嵌入对象无效。( ) 求二维随机变量错误！嵌入对象无效。的概率分布；(ii)求错误！嵌入对象无效。的概率分布；(iii)求错误！嵌入对象无效。与错误！嵌
20、入对象无效。的相关系数错误！嵌入对象无效。 (23) (本题满分11 分) 设二维随机变量错误！嵌入对象无效。服从区域错误！嵌入对象无效。上的均匀分布，其中错误！嵌入对象无效。是由错误！嵌入对象无效。与错误！嵌入对象无效。所围成的区域(i) 求边缘概率密度错误！嵌入对象无效。；(ii)求条件密度函数错误！嵌入对象无效。2011 年考研数学三试题答案一、选择题 (1 8 小题，每小题4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上) (1) 【答案】 (c) 【解析】因为错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误
21、！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。所以错误！嵌入对象无效。，故答案选 (c). (2) 【答案】 (b) 【解析】错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。故答案选 (b). (3) 【答案】 (a). 【解析】方法1:数项级数的性质:收敛级数任意添加括号后仍收敛，故(a) 正确 . 方法 2:排除法，举反例选项 (b) 取错误！嵌入对象无效。，这时错误！嵌入对象无效。收敛，但错误！嵌入对象无效。发散，故选项(b) 错误；选项 (c) 取错误！嵌入对象无效。，这时错误！嵌入对象无效。收敛，但错误！嵌入对象无效。发散
22、，故选项(c) 错误；选项 (d) 取错误！嵌入对象无效。，这时错误！嵌入对象无效。收敛，但错误！嵌入对象无效。发散，故选项(d) 错误故正确答案为(a). (4) 【答案】 (b) 【解析】因为错误！嵌入对象无效。时，错误！嵌入对象无效。，又因错误！嵌入对象无效。是单调递增的函数，所以错误！嵌入对象无效。故正确答案为(b) (5) 【答案】 (d) 【解析】由于将错误！嵌入对象无效。的第 2 列加到第1 列得矩阵错误！嵌入对象无效。，故错误！嵌入对象无效。，即错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。由于交换错误！嵌入对象无效。的第 2 行和第 3 行得单位矩阵，故错误！嵌入对象无效。，即错
23、误！嵌入对象无效。故错误！嵌入对象无效。因此，错误！嵌入对象无效。，故选(d) (6) 【答案】 (c) 【解析】由于错误！嵌入对象无效。是错误！嵌入对象无效。的 3 个线性无关的解，所以错误！嵌入对象无效。是错误！嵌入对象无效。的两个线性无关的解，即错误！嵌入对象无效。的基础解系中至少有2 个线性无关的解，所以可排除(a) 、(b) 选项又因为错误！嵌入对象无效。，所以错误！嵌入对象无效。是错误！嵌入对象无效。的解，不是错误！嵌入对象无效。的解，故排除(d) 选项，因此选(c) 事实上，由于错误！嵌入对象无效。是错误！嵌入对象无效。的三个线性无关的解，所以错误！嵌入对象无效。是错误！嵌入对象
24、无效。的两个线性无关的解，即错误！嵌入对象无效。的基础解系中至少有2 个线性无关的解，亦即错误！嵌入对象无效。，故错误！嵌入对象无效。由于错误！嵌入对象无效。，所以错误！嵌入对象无效。，故错误！嵌入对象无效。这样，错误！嵌入对象无效。的基础解系中正好有2 个线性无关的解，由此知错误！嵌入对象无效。是错误！嵌入对象无效。的一个基础解系因为错误！嵌入对象无效。是错误！嵌入对象无效。的解，所以错误！嵌入对象无效。，因此错误！嵌入对象无效。，所以错误！嵌入对象无效。是错误！嵌入对象无效。的一个特解由非齐次线性方程组解的结构，可知错误！嵌入对象无效。的通解为错误！嵌入对象无效。(7) 【答案】 (d)
25、【解析】选项(d) 错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。所以错误！嵌入对象无效。为概率密度 . (8) 【答案】 (d) 【解析】因为错误！嵌入对象无效。 ，所以错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。，从而有错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。因为错误！嵌入对象无效。，所以错误！嵌入对象无效。又因为错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。由于当错误！嵌入对象无效。时，错误！嵌入对象无效。，所以错误！嵌入对象无效。二、填空题 (9 14 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答
26、题纸指定位置上) (9) 【答案】错误！嵌入对象无效。. 【解析】因为错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。，所以，错误！嵌入对象无效。. (10) 【答案】错误！嵌入对象无效。. 【解析】错误！嵌入对象无效。, 错误！嵌入对象无效。,错误！嵌入对象无效。，所以，错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。，从而错误！嵌入对象无效。或错误！嵌入对象无效。. (11) 【答案】错误！嵌入对象无效。. 【解析】方程错误！嵌入对象无效。的两端对错误！嵌入对象无效。求导，有错误！嵌入对象无效。，将错误！嵌入对象无效。代入上式，有错误！嵌入对象无效。，解得错误！嵌入对象无效。，故切线方程为:错误！嵌入对
27、象无效。. (12) 【答案】错误！嵌入对象无效。. 【解析】如图所示:错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。图(13) 【答案】错误！嵌入对象无效。【解析】因为错误！嵌入对象无效。的各行元素之和为3，所以错误！嵌入对象无效。，故 3 为矩阵错误！嵌入对象无效。的特征值由错误！嵌入对象无效。知矩阵错误！嵌入对象无效。有两个特征值为零，从而错误！嵌入对象无效。由于二次型在正交变换下标准形前面的系数即为二次型所对应矩阵的特征值，所以二次型在正交变换下的标准形为错误！嵌入对象无效。(14) 【答案】错误！嵌入对象无效。【解析】 根据题意， 二维随机变量错误！ 嵌入对象无效。服从
28、错误！嵌入对象无效。因为错误！嵌入对象无效。，所以由二维正态分布的性质知随机变量错误！嵌入对象无效。独立，所以错误！嵌入对象无效。从而有x 2 y 1 0 错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。三、解答题 (15 23 小题，共94 分请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15) (本题满分10 分 ) 【解析】错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。(16) (本题满分10 分 ) 【解析】错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。由于错误！嵌入对象无效。为错误！嵌入对象无效。的极值，故错误！嵌入对象无效。，所以，错
29、误！嵌入对象无效。(17) (本题满分10 分 ) 【解析】令错误！嵌入对象无效。，则错误！嵌入对象无效。,错误！嵌入对象无效。，所以错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。(18) (本题满分10 分 ) 【解析】设错误！嵌入对象无效。，则错误！嵌入对象无效。，令错误！嵌入对象无效。，解得驻点错误！嵌入对象无效。. 所以，当错误！嵌入对象无效。时，错误！嵌入对象无效。，故错误！嵌入对象无效。单调递减；当错误！嵌入对象无效。时，错误！嵌入对象无效。，故错误！嵌入对象无效。单调递增；当错误！嵌入对
30、象无效。时，错误！嵌入对象无效。，故错误！嵌入对象无效。单调递减 . 又当错误！ 嵌入对象无效。时错误！ 嵌入对象无效。，且错误！ 嵌入对象无效。，故错误！嵌入对象无效。时只有一个零点；又错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。，由零点定理可知，存在错误！嵌入对象无效。，使错误！嵌入对象无效。；所以，方程错误！嵌入对象无效。恰有两实根 . (19) (本题满分10 分 ) 【解析】错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。由题设有错误！嵌入对象无效。，上式两端求导，整理得错误！嵌入对象无效。，为变量可分离微分方程，解得错误！嵌入对象无效。，带入错误！嵌入对象无效。，得错误！嵌入对象无效。.
31、所以，错误！嵌入对象无效。. (20) (本题满分11 分 ) 【解析】 (i) 由于错误！嵌入对象无效。不能由错误！嵌入对象无效。线性表示，对错误！嵌入对象无效。进行初等行变换:错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。当错误！嵌入对象无效。时，错误！嵌入对象无效。，此时，错误！嵌入对象无效。不能由错误！嵌入对象无效。线性表示，故错误！嵌入对象无效。不能由错误！嵌入对象无效。线性表示(ii)对错误！嵌入对象无效。进行初等行变换:错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。，故错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。
32、(21) (本题满分11 分 ) 【解析】 (i) 由于错误！嵌入对象无效。，设错误！嵌入对象无效。，则错误！嵌入对象无效。，即错误！嵌入对象无效。，而错误！嵌入对象无效。，知错误！嵌入对象无效。的特征值为错误！嵌入对象无效。，对应的特征向量分别为错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。由于错误！嵌入对象无效。，故错误！嵌入对象无效。，所以错误！嵌入对象无效。由于错误！嵌入对象无效。是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设错误！嵌入对象无效。对应的特征向量为错误！嵌入对象无效。，则错误！嵌入对象无效。即错误！嵌入对象无效。解此方程组，得错误！嵌入对象无效。，故错误！嵌入对象无
33、效。对应的特征向量为错误！嵌入对象无效。(ii) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化:错误！嵌入对象无效。令错误！嵌入对象无效。，则错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。(22) (本题满分11 分 ) 【解析】 (i) 因为错误！嵌入对象无效。，所以错误！嵌入对象无效。即错误！嵌入对象无效。利用边缘概率和联合概率的关系得到错误！嵌入对象无效。；错误！嵌入对象无效。；错误！嵌入对象无效。即错误！嵌入对象无效。的概率分布为(ii)错误！嵌入对象无效。的所有可能取值为错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象
34、无效。错误！嵌入对象无效。的概率分布为z -1 0 1 p 1/3 1/3 1/3 错误！嵌入对象无效。错-1 0 1 0 1/3 0 1 0 1/3 0 1/3 (iii)因为错误！嵌入对象无效。，其中错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。所以错误！嵌入对象无效。，即错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。的相关系数错误！嵌入对象无效。 (23) (本题满分11 分) 【解析】二维连续型随机变量错误！嵌入对象无效。的概率密度为错误！嵌入对象无效。( ) 当错误！嵌入对象无效。时，错误！嵌入对象无效。当错误！嵌入对象无效。时，错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。的边缘概率密度为错误！
35、嵌入对象无效。(ii)当错误！嵌入对象无效。时，错误！嵌入对象无效。的边缘概率密度为错误！嵌入对象无效。当错误！嵌入对象无效。时，错误！嵌入对象无效。有意义，条件概率密度错误！嵌入对象无效。2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题: 18 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . （1）曲线221xxyx渐近线的条数为（）（a）0 （b）1 （c）2 （d）3 （2）设函数2( )(1)(2)()xxnxf xeeen，其中n为正整数，则(0)f（a）1( 1)(1)!nn（b）( 1)
36、 (1)!nn（c）1( 1)!nn（d）( 1)!nn（3）设函数)(tf连续，则二次积分rdrrfd2cos2220)(=（）（a）dyyxfyxdxxxx)(2242222022（b）dyyxfdxxxx)(22422022（c）dyyxfyxdxxxx)(22421222022（d）dyyxfdxxxx)(224212022（4）已知级数11sin) 1(innn绝对收敛，12) 1(inn条件收敛，则范围为（）（a）210（b）121（c）231（d）223（5）设1234123400110 ,1 ,1 ,1cccc其中1234,c c c c为任意常数， 则下列向量组线性相关的是（
37、）（a）123,（b）124,（c）134,（d）234,（6）设a为 3 阶矩阵，p为 3 阶可逆矩阵，且1112pap，123,p，1223,q则1q aq（）（a）121（ b）112（c）212（ d）221（7）设随机变量x与y相互独立，且都服从区间0,1上的均匀分布，则221pxy（）（a）14（b）12（c）8（d）4（ 8 ） 设1234,xxxx为 来 自 总 体21,0n的 简 单 随 机 样 本 ， 则 统 计 量12342xxxx的分布（）（a）0,1n（b）1t（c）21（d）1,1f二、填空题:9 14 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上
38、 . （9）1cossin4lim tanxxxx_。（10）设函数ln,1( ),( )21,1x xf xyff xxx，求0 xdydx_。（11） 函数( , )zf x y满足2201( , )22lim0(1)xyf x yxyxy，则(0,1)dz（12）由曲线4yx和直线yx及4yx在第一象限中所围图形的面积为？（13）设a为 3 阶矩阵，3a,*a为a的伴随矩阵，若交换a的第一行与第二行得到矩阵b,则*ba_。（14）设,a b c是随机事件，,a c互不相容，1()2p ab,1()3p c,则()p ab c_。三、解答题: 1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题
39、纸指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分10 分）计算22 2cos40limxxxeex（16） （本题满分10 分）计算二重积分xde xydxdy，其中 d 为由曲线yx与1yx所围区域。（17） （本题满分10 分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000 （万元） ，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和（ y 件） ，且固定两种产品的边际成本分别为220 x（万元 /件）与y6（万元 /件） 。1）求生产甲乙两种产品的总成本函数),(yxc(万元 ) 2）当总产量为50 件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最
40、小？求最小的成本。3）求总产量为50 件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。（18） （本题满分10 分）证明:21lncos1, 1112xxxxxx（ 19 ） （ 本 题 满 分10分 ） 已 知 函 数)(xf满 足 方 程0)(2)()( xfxfxf及xexfxf2)()(1）求表达式)(xf2）求曲线的拐点dttfxfyx022)()(（20） （本题满分10 分）设100010001001aaaaa，1100b（）求a（）已知线性方程组axb有无穷多解，求a，并求axb的通解。（21）（本题满分10 分） 三阶矩阵10101110aa，ta为矩阵a的转置，已知(
41、)2tr a a，且二次型ttfx a ax。1）求a2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。（22） （本题满分10 分）已知随机变量,x y以及xy的分布律如下表所示，x 0 1 2 p 1/2 1/3 1/6 y 0 1 2 p 1/3 1/3 1/3 xy 0 1 2 4 p 7/12 1/3 0 1/12 求: （1）2p xy；（2）cov,xy y与xy. （23） （本题满分10 分）设 随 机 变 量x和y相 互 独 立 ， 且 均 服 从 参 数 为1的 指 数 分 布 ，min,max,vx yux y. 求（ 1）随机变量v的概率密度；（
42、2）e uv. 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题: 18 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . （1） 【答案】:c【解析】:221lim1xxxx，所以1x为垂直的22lim11xxxx，所以1y为水平的，没有斜渐近线故两条选c（2）【答案】:c（3）222( )(2)()(1)(22)()(1)(2)()xxnxxxnxxxnxfxe eeneeeneenen所以(0)f1( 1)!nn（3） 【答案】: （b）【解析】:由22yxx解得y的下界为22xx，由222yx解
43、得y的上界为24x.故排除答案（c） （d）. 将极坐标系下的二重积分化为x型区域的二重积分得到被积函数为)(22yxf，故选（ b）. （4） 【答案】: （d）【解析】 : 考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的p级数的收敛性结论. 11sin)1(innn绝对收敛可知23；12)1(inn条件收敛可知2，故答案为 （d）（5） 【答案】: （c）【解析】:由于134113401111,011011cccc，可知134,线性相关。故选（ c）（6） 【答案】: （b）【解析】:100110001qp，则11100110001qp，故1110010010011001110110110
44、1110100100100120012qaqpap故选（ b） 。（7） 【答案】: （d）【解析】:由题意得，1,01,01,0,.xyxyfx yfx fy其它221 =,dp xyfx y dxdy，其中d表示单位圆在第一象限的部分，被积函数是1，故根据二重积分的几何意义，知221 =4p xy，故选（ d） .（8） 【答案】: （b）【解析】:从形式上，该统计量只能服从t分布。故选b。具体证明如下:1212234342222xxxxxxxx，由正态分布的性质可知，122xx与3422xx均服从标准正态分布且相互独立，可知122342122xxtxx。二、填空题:9 14 小题，每小题
45、4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 . （9） 【答案】:-2e【解析】:41limtan11cossincossin4lim tanxxxxxxxxe41limtan1cossinxxxx=4tantan4limcossinxxxx=4tan1tantan44lim-2 sin4xxxx=41tantan44lim- 24xxxx=2- 2=- 2所以41limtan11cossincossin4lim tanxxxxxxxxe=-2e（10） 【答案】:4【解析】:00( )( )(0)(0)1(0)xxdyff xfxfffffdx由( )f x的表达式可知 0( 1)2
46、ff，可知04xdydx（11） 【答案】:2dxdy【解析】 :由题意可知分子应为分母的高阶无穷小，即22( ,)22(1) )f x yxyoxy，所以(0,1)2zx，(0,1)1zy，故(0,1)2dzdxdy（12） 【答案】:4ln 2【解析】:被积函数为1 的二重积分来求，所以4240244yyyysdydxdydx334ln 24ln 222（13） 【答案】:-27 【解析】:由于12be a，故*121212|3bae a aa ee，所以，*31212| |3| 3 | 27*(1)27baee.（14） 【答案】:34【解析】:由条件概率的定义，p abcp ab cp
47、 c，其中121133p cp c，12p abcp abp abcp abc， 由 于,a c互 不 相 容 ， 即ac，0p ac，又abcac，得0p abc，代入得12p abc，故34p ab c.三、解答题: 1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） 【解析】:222 2cos2 2cos2 2cos440001limlimlimxxxxxxxxeeeexx240242240424022coslim22 124!lim()+12=lim1=12xxxxxxxxxo xxxo xx泰勒公式（16） （本题满分10
48、 分）解析】 :由题意知，区域1( , ) |01,dx yxxyx，如图所示所以1100limxxxxxde xydxdydxe xydy112001001120001120001001100001lim21lim221lim21lim1221lim1221lim12211lim12(1)22xxxxxxxxxxxxxxxxxxe xydxxe xdxxe dxe x dxee xe xdxxdee xe dxee（17） 【解析】:1）设成本函数为( , )c x y，由题意有:( , )202xxcx y，y o1 x对 x 积分得，2( ,)20( )4xc x yxd y，再对 y
49、求导有，( ,)( )6ycx ydyy，再对 y 积分有，21( )62d yyyc所以，221( , )20642xc x yxyyc又(0,0)10000c，故10000c，所以221( , )2061000042xc x yxyy2）若50 xy，则50(050)yxx，代入到成本函数中，有2221( )206(50)(50)1000042336115504xc xxxxxx所以，令3( )3602cxx，得24,26xy，这时总成本最小(24,26)11118c3）总产量为50 件且总成本最小时甲产品的边际成本为(24, 26)32xc，表示在要求总产量为 50 件时， 在甲产品为2
50、4 件，这时要改变一个单位的产量，成本会发生32 万元的改变。（18） 【解析】:令21lncos112xxfxxxx，可得2222112lnsin11112lnsin1111lnsin11xxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxx当01x时，有1ln01xx，22111xx，所以221sin01xxxx，故0fx，而00f，即得21lncos1012xxxxx所以21lncos112xxxxx。当10 x，有1ln01xx，22111xx，所以221sin01xxxx，故0fx，即得21lncos1012xxxxx可知，21lncos1, 1112xxxxxx（19） 【解析】:1 ） 特
51、 征 方 程 为022rr， 特 征 根 为2, 121rr， 齐 次 微 分 方 程( )( )2 ( )0fxfxf x的 通 解 为xxececxf221)(. 再 由( )( )2xfxfxe得21222xxxc ec ee，可知121,0cc。故( )xf xe2）曲线方程为220 xxtyeedt，则22012xxtyxeedt，222022 1 2xxtyxxeedt令0y得0 x。为了说明0 x是0y唯一的解，我们来讨论y在0 x和0 x时的符号。当0 x时 ，222020,2 120 xxtxxeedt， 可 知0y； 当0 x时 ，222020,2 120 xxtxxeed
52、t，可知0y。可知0 x是0y唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线dttfxfyx022)()(在0 x左右两边的凹凸性相反，可知0,0点是曲线dttfxfyx022)()(唯一的拐点。（20） 【解析】: （）4 141001000010101( 1)10100100101001aaaaaaaaaaa（）2324210011001100101010101010100100010001000100010011001010100100001aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有410a及20aa，可知1a。此 时 ， 原 线 性 方 程 组 增 广 矩
53、阵 为11001011010011000000， 进 一 步 化 为 行 最 简 形 得10010010110011000000可知导出组的基础解系为1111，非齐次方程的特解为0100，故其通解为10111010k线性方程组axb存在 2 个不同的解，有| 0a. 即:211010(1) (1)011a，得1或-1.当1时 , 12311100001111xxxx，显然不符，故1.（21） 【解析】:1）由()( )2tr a ar a可得，10101110110aaa2）1123232221231223202,02222422444ttxfx a axx xxxxxxxx xx x则矩阵2
54、02022224b202022260224eb解得b矩阵的特征值为:1230;2;6对于110,0eb x解得对应的特征向量为:1111对于222,0eb x解得对应的特征向量为:2110对于336,0eb x解得对应的特征向量为:3112将123,单位化可得:111131，211120，311162123,q（22） 【解析】:x 0 1 2 p 1/2 1/3 1/6 y 0 1 2 p 1/3 1/3 1/3 xy 0 1 2 4 p 7/12 1/3 0 1/12 （1）1120,02,1044p xyp xyp xy（2）cov,cov,cov,xy yx yy ycov,x yex
55、yexey，其中22222545,1,1,13399exexeyeydxexex2252133dyeyey,23exy所以，cov,0x y，2cov,3y ydy，2cov,3xy y,0xy. （ 23） 【解析】:（1）x概率密度为,0,0,.xexfx其它分布函数为1,0,0,.xexf x其它x和y同分布 . 由min,vx y，min,1,vfvp vvpx yvp xv yv，而,x y独立，故上式等于221,0,1110,.vevpxv p yvfv其它故22,0,0,.vvvevfvfv其它（2）同理，u的概率密度为:2 1,0,0,.uuueeufu其它032 12uueu
56、uee du，20122vevv edv，所以31222e uve ue v. 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题: 18 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . （1）当0 x时，用( )o x表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（a）23()()x o xo x（b）23( )()()o xo xo x（c）222()()()o xo xo x（d）22( )()()o xo xo x（2）函数|1( )(1)ln |xxf xx xx的可去间断点的个数为（）（a）0
57、（b）1 （c）2 （d）3 （ 3 ） 设kd是 圆 域22( , ) |1 dx yxy位 于 第k象 限 的 部 分 ， 记()kkdiyx dxdy1,2,3,4k，则（）（a）10i（b）20i（c）30i（d）40i（4）设na为正项数列，下列选项正确的是（）（a）若111,( 1)nnnnnaaa则收敛（b）11( 1)nnna若收敛，则1nnaa（c）1nna若收敛，则存在常数1p,使limpnnn a存在（d）若存在常数1p，使limpnnn a存在，则1nna收敛（5）设矩阵a,b,c 均为 n 阶矩阵，若,babc 则可逆，则（a）矩阵 c 的行向量组与矩阵a 的行向量组
58、等价（b）矩阵 c 的列向量组与矩阵a 的列向量组等价（c）矩阵 c 的行向量组与矩阵b 的行向量组等价（d）矩阵 c 的行向量组与矩阵b 的列向量组等价（6）矩阵1a1aba1a1与2000b0000相似的充分必要条件为（a）a0,b2（b）为任意常数ba,0（c）0,2 ba（d）为任意常数ba,2（7）设123xxx，是随机变量，且22123n(0,1)n(5,3 )xn，x0,2 ），x, 22(1,2,3),jjppxj则（）（a）123ppp（b）213ppp（c）312ppp（d）132ppp（8）设随机变量x 和 y 相互独立，则x 和 y 的概率分布分别为，则2p xy( )
59、 （a）112（b）18（c）16（d）12二、填空题:9 14 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 . （ 9 ） 设 曲 线)(xfy和xxy2在 点) 1 ,0(处 有 公 共 的 切 线 ， 则2limnnnfn_。（10）设函数),(yxzz由方程xyyzx)(确定，则)2, 1(xz_。（11）求dxxx12)1(ln_。（12）微分方程041yyy通解为y_。（13）设ija(a )是三阶非零矩阵，|a |为 a 的行列式，ija为ija的代数余子式，若ijijaa0(i, j1,2,3),_a则（14）设随机变量x 服从标准正态分布n(0,1)x,则
60、2()xe xe= _。三、解答题: 1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10 分）当0 x时，1coscos2cos3xxx与nax为等价无穷小，求n与a的值。（16）（本题满分10 分）设d是由曲线13yx，直线(0)xa a及x轴所围成的平面图形，,xyv v分别是d绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若10yxvv，求a的值。（17）（本题满分10 分）设平面内区域d由直线3 ,3xy yx及8xy围成 .计算2dx dxdy。（18） （本题满分10 分）设生产某产品的固定成本为6000 元，可变
61、成本为20 元 /件，价格函数为601000qp， （p是单价，单位:元，q 是销量，单位:件） ，已知产销平衡，求:（1）该商品的边际利润。（2）当 p=50 时的边际利润，并解释其经济意义。（3）使得利润最大的定价p。（19） （本题满分10 分）设函数( )f x在0,上可导，(0)0lim( )2xff x且，证明（1）存在0a，使得( )1f a（2）对（ 1）中的a，存在(0, ),a使得1( ).fa（20） （本题满分11 分）设101,101aabb，当,a b为何值时，存在矩阵c使得accab，并求所有矩阵c。（21） （本题满分11 分）设二次型221231122331
62、12233,2fxxxa xa xa xb xb xb x，记112233,ababab。（i）证明二次型f对应的矩阵为2tt；（ ii ）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型22122yy。（22） （本题满分11 分）设,x y是二维随机变量，x的边缘概率密度为23,01,0,.xxxfx其他，在给定01xxx的条件下，y的条件概率密度233,0,0,.y xyyxfy xx其他（1）求,x y的概率密度,fx y；（2）y的边缘概率密度yfy.（23） （本题满分11 分）设 总 体x的 概 率 密 度 为23,0,0,.xexfxx其它其 中为 未 知 参
63、数 且 大 于 零 ，12,nxxx，为来自总体x的简单随机样本. （1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量. 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题: 18 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . （1）当0 x时，用( )o x表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（a）23()()x o xo x（b）23( )()()o xo xo x（c）222()()()o xo xo x（d）22( )()()o xo xo x【答案】 d 【解析】2( )()( )o x
64、o xo x，故 d 错误。（2）函数|1( )(1)ln |xxf xx xx的可去间断点的个数为（）（a）0 （b）1 （c）2 （d）3 【答案】 c 【解析】由题意可知( )f x的间断点为0, 1。又lnx0 x0 x0 x011lnlim( )limlimlim1(1)ln(1)ln(1)lnxxxxexxf xx xxx xxx xxln()x0 x0 x0 x0()11ln()lim( )limlimlim1(1)ln()(1)ln()(1)ln()xxxxexxf xx xxx xxx xxlnx1x1x1x111ln1lim( )limlimlim(1)ln(1)ln(1)
65、ln2xxxxexxf xx xxx xxx xxln()x1x1x1x1()11ln()lim( )limlimlim(1)ln()(1)ln()(1)ln()xxxxexxf xx xxx xxx xx故( )f x的可去间断点有2 个。（ 3 ） 设kd是 圆 域22( , ) |1 dx yxy位 于 第k象 限 的 部 分 ， 记()kkdiyx dxdy1,2,3,4k，则（）（a）10i（b）20i（c）30i（d）40i【答案】 b 【解析】令cos ,sinxryr，则有101()(si nc o s)( c o ss i n)3kkdiyx d x d yr d rrrd故
66、当2k时，,2，此时有220.3i故正确答案选b。（4）设na为正项数列，下列选项正确的是（）（a）若111,( 1)nnnnnaaa则收敛（b）11( 1)nnna若收敛，则1nnaa（c）1nna若收敛，则存在常数1p,使limpnnn a存在（d）若存在常数1p，使limpnnn a存在，则1nna收敛【答案】 d 【解析】 根据正项级数的比较判别法，当1p时，11pnn收敛，且limpnnn a存在，则1nna与11pnn同敛散，故1nna收敛 . （5）设矩阵a,b,c 均为 n 阶矩阵，若abc，且c可逆，则（）（a）矩阵 c 的行向量组与矩阵a 的行向量组等价（b）矩阵 c 的列向量组与矩阵a 的列向量组等价（c）矩阵 c 的行向量组与矩阵b 的行向量组等价（d）矩阵 c 的行向量组与矩阵b 的列向量组等价【答案】（b）【解析】由abc可知c 的列向量组可以由a 的列向量组线性表示，又b 可逆，故有1cba，从而 a 的列向量组也可以由c 的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（b） 。（6）矩阵1111aabaa与2000b0000相似的充分必要条件为