2003南开大学年数学分析
w?f (x?y,x?y,x) f (x,y,z) w
一、设 其间 有二阶接连偏导数，求
xy
解:令u=x+y,v=x-y,z=x则w ?f ?f ?f ；
x u v z
w ?f ?f (?1)?f ?f (?1)?f ?f (?1)
xy uu uv vu vv zu zv
1
二、设数列{a }非负单增且lima ?a，证明lim[a ?a ?? ?a ] ?a1n 2n nn n
n n
n?? n??
1 1
n n n n n n
解:因为an非负单增，故有a ?[a ?a ?? ?a ] ?(na )
n 1 2 n n
lima ?a
由 ；据两端夹定理有极限树立。
n
n??
?? 2 ?
三、设 x ln(1?x ),x ?0试断定 的取值规模，使f(x)别离满足:
f (x)??
? 0,x?0
（1） 极限 存在
limf (x)
x?0?
（2） f(x)在x=0接连
（3） f(x)在x=0可导
解:（1）因为
lim f (x) = = ? 2 x4 n?1x2n 2n 极 限存 在 则
? 2 limx [x ? ?? ?(?1) ?o(x )]
limx ln(1?x )
x? 0? x?0? x?0? 2 n
2+??0知?? ?2
(2)因为 =0=f(0)所以要使f(x)在0接连则? ??2
lim f (x)
x?0?
?
（3）f (0)?0所以要使f(x)在0可导则? ??1
?
四、设f(x)在r接连，证明积分? f (x ?y )xdx?ydy2 2 与积分途径无关
l
解；令u=x ?y2 2则? f (x ?y )xdx?ydy2 2 =1?f (u)du又f(x)在r上接连故存在f （u）
l 2 l
使df(u)=f(u)du=f (x ?y )xdx?ydy2 2
所以积分与途径无关。 （此题应谢谢小毒物供给思路）
五、 设 f(x) 在 [a,b] 上 可 导 ， a?b