50道一元函数微分学数学考研真题

证明：对任意，使得有实根.

设，且，求.

若二阶可导且在上有最大最小值，证明：使得.

已知接连.证明在上为单调增函数.

设在接连，在可微，且，证明：存在使得

设在，且，证明

在上为严肃单调递加的函数，假定要使在上为严肃单调递加的函数，试问应弥补界说为多少.


设界说上的函数二阶可导，且存在，有界，证明.

若且

试证：对，，使得

<section role="presentation" data-formula="\lambda=\frac{f(x_{6})-f(x_{5})}{x_{6}-x_{5}}
” data-formula-type=”block-equation” style=”text-align: center;overflow: auto;”>

设在 二阶可微, 且均收敛且相同, 证明: 存在使得.

设界说是在界说在实数集上的函数

<section role="presentation" data-formula="f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { x ^ { \alpha } \sin \frac { 1 } { x } , x \neq 0 } \\ { 0 , x = 0 } \end{array} \right.
” data-formula-type=”block-equation” style=”text-align: center;overflow: auto;”>

阐明取何值时，(1)接连；(2)可导；(3)导函数接连.

设且

求


若函数 在 上可微，，存在实数 ，使得

证明：.


设接连，，试证：至少存在一点，使得.

设在右可微，即

存在，且大于零.证明：

<section role="presentation" data-formula="\exists \delta>0, \text { s.t. } \forall t \in(c, c+\delta), f(t)>f(c)
” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center; overflow: auto; “>

设函数在上二阶可导，

若在接连，且.

若接连可微，不为，其间maclaurin级数（cauchy余项）

证明：.

设

<section role="presentation" data-formula="f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^2}} \quad\quad x\ne 0\\
0 \quad\quad\quad x=0
\end{array}\right.
” data-formula-type=”block-equation” style=”text-align: center;overflow: auto;”>

证明：在处任意阶导数数存在.

已知是界说在区间上的单调递加函数，满足，证明存在使得.

若函数在接连，且

单调递减，证明：.


设，求的taylor公式，并核算的近似值.

求的极值.

若在上二次接连可导，且，证明.

若在上共同接连，证明：存在常数，使得对任意，都有

<section role="presentation" data-formula="|f(x+h)-f(x)|\leq m(h+1)
” data-formula-type=”block-equation” style=”text-align: center;overflow: auto;”>

设，求.

设函数在接连且

求证：存在，且.


设界说在上的函数和满足

其间是常数.证明：在处可导，并求.


设在上三阶可导，且，证明：对任意的$x_{1}

设，求.

若函数在上单调添加，且.证明：存在，使得.

若函数在上可导，且在一切零点处导数不等于0，证明：在上只需有限个零点.

若，求;

若函数处处可导，且有以及，则试证：

设，且，在处获得最小值

设在上具有二阶导数，且

又存在使得，证明：方程在内恒有2个根.

设，求.

若是上的凸函数，则在内支配导数存在.

若在上二阶可导，且满足
，
试证：
设 在点 处二阶可导，且 ，证明：当 充分小时树立

其间的 具有性质 .


若在接连，在可导，且，试证：存在，使得
设在上单调递加，且，试证：存在使得.

若函数在接连，且存在常数满足，使得，试证：存在使得.

设 且 若对任意的 ， 有

证明


已知 证明 在 就任意阶可导.

设 在 上接连, 在 上可导, 且 证明: 对任意 有

<section role="presentation" data-formula="\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leq \frac{b-a}{2}
” data-formula-type=”block-equation” style=”text-align: center;overflow: auto;”>