我国公民大学2023年考研高级代数试题(我国公民承担)

三、设 是互异常数.

求 除多项式 的余式;
求 除 的商和余式;
求 99999999 除 10001000000010001 的商和余数.

四、 设有 的两个子空间
<section role="presentation" data-formula="w_1=\left\{\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)^t \mid x_1+2 x_2-x_4=0\right\}, w_2=l\left(\alpha_1, \alpha_2\right)
” data-formula-type=”block-equation” style=”text-align: center;overflow: auto;”>

其间 , 求 和 的基和维数.
五、 设 .

证明 在有理数域 上不可以约.
设 是 在复数域 的一个根, 记

<section role="presentation" data-formula="\mathbb{q}\left[ \alpha \right] =\left\{ a_0+a_1\alpha +a_2\alpha ^2\mid a_0,a_1,a_2\in \mathbb{q} \right\} .
” data-formula-type=”block-equation” style=”text-align: center;overflow: auto;”>

证明: 对任意的 , 有 .

证明: 若 , 且 , 则存在 , 使得 .

六、 设 是 矩阵, 是 矩阵. 证明: 的充分必要条件是 , 其间
<section role="presentation" data-formula="n(a)=\left\{x \in \mathbb{r}^n \mid a x=0\right\}, r(b)=\left\{b x \in \mathbb{r}^n \mid x \in \mathbb{r}^s\right\}
” data-formula-type=”block-equation” style=”text-align: center;overflow: au

to;”>

七、设 是 矩阵, 是 矩阵, 假定 是可逆矩阵 , 试谈论 的可逆性.
8、 答复如下疑问:

证明:实对称矩阵正定的充分必要条件是一切次序主子式都大于 0 ;
判别:矩阵 的正定性.